Conseils utiles

Types de matrice

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Une matrice est un objet mathématique présenté sous la forme d'un tableau carré ou rectangulaire contenant un certain nombre de lignes et de colonnes, appelé ordres. Les matrices peuvent varier en taille et en contenu. Les matrices vous permettent d'organiser les enregistrements de systèmes d'équations linéaires, ce qui facilite la recherche de leurs résultats. Travailler avec des matrices implique de les amener à un formulaire standard.
Il existe de nombreux types de matrices en mathématiques. Tous les éléments de la matrice zéro sont égaux à zéro et le nombre de lignes et de colonnes peut être complètement différent.
Une matrice de type carré a le même nombre de lignes et de colonnes. La matrice la plus simple d'un vecteur de colonne a trois valeurs numériques situées dans une colonne. Un vecteur de ligne contient trois éléments numériques placés sur une ligne. Dans la matrice diagonale, seuls les éléments de la diagonale principale ont des valeurs numériques, les autres sont nuls. La diagonale commence par l'élément dans le coin supérieur droit et se termine dans la dernière colonne de la dernière ligne. Le type diagonal ne peut avoir qu'une matrice carrée. La sous-espèce de la matrice diagonale est une unité, toutes les valeurs numériques étant égales à des unités. Dans la matrice canonique, toutes les composantes de la diagonale principale ne sont pas égales à l'unité, le nombre de lignes et de colonnes peut être différent, mais, comme dans la matrice d'identité, les éléments situés non sur la diagonale principale sont égaux à zéro. La matrice de type triangulaire est carrée. Une matrice dont les éléments situés sous la diagonale principale sont égaux à zéro est appelée triangulaire inférieure. Dans la matrice triangulaire supérieure, les valeurs numériques ont des éléments situés sur et en dessous de la diagonale principale. Au-dessus de la diagonale, les éléments ont une valeur nulle.

Une matrice ayant des «étapes» de zéros est appelée une matrice à étapes. Dans ce type de matrice, la diagonale des zéros ne doit pas nécessairement être la principale. Les éléments situés sous la diagonale, ainsi que sur la diagonale, doivent avoir une valeur nulle. L'élément dans le coin de chaque étape est différent de zéro. Le premier élément non nul de la ligne doit être situé à droite du premier élément non nul de la ligne du précédent. Tous les éléments sous le 1er élément non nul de la ligne ont une valeur zéro. Si la matrice d'étape a une ligne zéro, les lignes en dessous n'ont également aucune valeur numérique. C'est-à-dire que les lignes zéro sont les dernières. Pour amener la matrice sous forme pas à pas, il est nécessaire de déterminer son déterminant. La tâche est réalisable si le déterminant est supérieur ou inférieur à zéro, sinon (il est égal à zéro), il est impossible de réduire la matrice à la forme par étapes.

Toute matrice peut être facilement réduite à une forme en utilisant les transformations élémentaires suivantes:
- permutation de deux lignes (colonnes),
- multiplication d'une ligne (colonne) par tout, sauf zéro, nombre,
- ajout d'une ligne (colonne) avec un autre (autre), multiplié (multiplié) par un nombre quelconque (sauf zéro).

Nous apportons la matrice sous forme pas à pas:
1. Sélectionnez un élément autre que zéro dans la 1ère colonne. Si l'élément sélectionné (leader) ne figure pas dans la première ligne, nous réorganisons la ligne avec l'élément principal dans la première ligne (principale). Si les éléments de la 1ère colonne sont égaux à zéro, nous l'excluons et passons à la suivante.
2. Divisez les éléments de la ligne principale par l’élément principal. Les conversions sont terminées, à condition que la ligne principale soit la dernière.
3. A la ligne située sous le leader, ajoutez le leader, précédemment multiplié par un nombre, de sorte que les éléments de la ligne situés au-dessous de la ligne deviennent nuls.
4. Excluez la ligne et la colonne avec l'élément principal à l'intersection.
Répétez les mêmes étapes avec le reste de la matrice.

La calculatrice en ligne vous aidera à transformer la matrice en étapes. Sélectionnez une dimension et entrez une valeur pour ses éléments.

Type carré

Le nombre de colonnes et de lignes de ce type de matrice est identique. En d'autres termes, il s'agit d'un tableau de la forme "carrée". Le nombre de ses colonnes (ou lignes) s'appelle l'ordre. Les cas spéciaux sont l’existence d’une matrice de second ordre (matrice 2x2), de quatrième ordre (4x4), de dixième (10x10), de dix-septième (17x17), etc.

Type diagonale

Les valeurs numériques sous forme de diagonale de la matrice ne sont acceptées que par les composants de la diagonale principale (surlignés en vert). La diagonale principale commence par un élément situé dans le coin supérieur droit et se termine par un chiffre dans la troisième colonne de la troisième rangée. Les composants restants sont zéro. Le type diagonal n’est qu’une matrice carrée de tout ordre. Parmi les matrices de la forme diagonale, on peut distinguer scalaire. Toutes ses composantes prennent les mêmes valeurs.

Algorithme pour réduire la matrice à une forme progressive

Pour que la matrice prenne une forme progressive (Fig. 1.4), vous devez suivre les étapes suivantes.

1. Dans la première colonne, sélectionnez un élément autre que zéro (élément principal). Remplacez la ligne par l'élément principal (ligne principale), si ce n'est pas le premier, pour remplacer la première ligne (conversion de type I). S'il n'y a pas de lead dans la première colonne (tous les éléments sont égaux à zéro), nous excluons cette colonne et continuons la recherche de l'élément lead dans la partie restante de la matrice. Les transformations se terminent si toutes les colonnes sont exclues ou si tous les éléments sont nuls dans le reste de la matrice.

2. Divisez tous les éléments de la ligne principale en éléments principaux (conversion de type II). Si la dernière ligne est la dernière, cela devrait être la fin de la conversion.

3. A chaque ligne située sous la ligne principale, ajoutez la ligne correspondante multipliée respectivement par un nombre tel que les éléments situés sous la ligne principale soient égaux à zéro (transformation de type III).

4. Après avoir exclu de la considération la ligne et la colonne à l'intersection de l'élément principal, passez à l'étape 1, dans laquelle toutes les actions décrites sont appliquées à la partie restante de la matrice.

Exemple 1.29. Amener à la forme pas à pas de la matrice

Solution Dans la première colonne de la matrice [math] A [/ math], sélectionnez l'élément principal [math] a_ <11> = 3 ne0 [/ math]. Divisez tous les éléments de la première ligne par [math] a_ <11> = 3 [/ math] (ou, qui est identique 1 1, multipliez par [math] tfrac <1>> = tfrac <1> <3> [/ math]):

Ajoutez la première ligne multipliée par (-2) à la deuxième ligne:

La première colonne et la première ligne sont exclues. Dans la partie restante de la matrice, il y a un élément (-2), choisi comme lead. En divisant la dernière ligne par l’élément principal, nous obtenons une matrice par étapes

Les conversions sont terminées puisque la ligne principale est la dernière. Notez que la matrice résultante est triangulaire supérieure.

Dans la première colonne de la matrice [math] B [/ math], sélectionnez l'élément principal [math] b_ <21> = 2 ne0 [/ math]. Nous échangeons les lignes, en plaçant la ligne principale en premier lieu, et divisons les éléments de la ligne principale par l'élément principal 2:

Le point 3 de l'algorithme n'a pas besoin d'être terminé car il y a zéro sous l'élément principal. Nous excluons de la considération la première ligne et la première colonne. Dans la partie restante, l’élément principal est le nombre 2. En divisant la ligne principale (seconde) par 2, nous obtenons une forme par étapes:

Les conversions sont terminées puisque la ligne principale est la dernière.

Dans la première colonne de la matrice [math] C [/ math], sélectionnez l'élément principal [math] c_ <11> = 2 ne0 [/ math]. La première ligne est le plomb. Divise ses éléments par [math] c_ <11> = 2 [/ math]. Nous obtenons

Aux deuxième et troisième lignes, nous ajoutons la première, multipliée par (-3) et (-6), respectivement:

Nous attirons l'attention sur le fait que la matrice résultante n'est pas encore une matrice de type étape, car la deuxième étape est formée de deux lignes (2e et 3e) de la matrice. En excluant la 1ère ligne et la 1ère colonne, nous recherchons l'élément principal dans la suite. Ceci est un élément (-1). Divisez la deuxième ligne par (-1), puis ajoutez le premier (deuxième) fois 5 à la troisième ligne:

Nous excluons de la considération la deuxième ligne et la deuxième colonne. Toutes les colonnes étant exclues, aucune transformation supplémentaire n'est possible. La vue résultante est étagée.

1. Ils disent que la matrice a une forme échelonnée même dans le cas où les éléments de tête (indiqués par une unité sur la figure 1.4) sont des nombres non nuls.

2. On pense que la matrice zéro a une forme en escalier.

Exemple 1.30. Apportez la matrice à la forme étape

Solution La première colonne de la matrice [math] A [/ math] est zéro. Nous l'excluons et examinons le reste (les 5 dernières colonnes):

Nous prenons comme élément principal [math] a_ <12> = 1 [/ math]. Nous ajoutons à la deuxième ligne le premier, multiplié par (-1), à la troisième ligne - le premier, multiplié par (-2), à la quatrième ligne - le premier, multiplié par (-4). Ainsi, tous les éléments de la deuxième colonne situés en dessous de l’élément de tête sont «annulés»:

La matrice résultante n'a pas de forme étagée, car l'une des étapes a une hauteur de trois rangées. Nous continuons la transformation. La première ligne et la deuxième colonne sont exclues. Comme la première colonne de la partie restante de la matrice est à zéro, nous l'excluons. Le reste de la matrice est maintenant une matrice (de taille [math] 3 times3 [/ math]), formée par les éléments situés dans les trois dernières lignes et les trois colonnes de la matrice résultante. En tant qu'élément principal, sélectionnez [math] a_ <24> = 1 [/ math]. Nous ajoutons le deuxième à la troisième ligne. Nous obtenons la matrice

La deuxième ligne et la quatrième colonne sont exclues. Nous prenons l'élément [math] a_ <35> = 2 [/ math] comme leader. Divisez la troisième ligne par le nombre 2 (multipliez par 0,5):

A la quatrième ligne, nous ajoutons la troisième, multipliée par (-2):

La troisième ligne et la quatrième colonne sont exclues. Comme dans le reste de la matrice tous les éléments (un) sont nuls, les transformations sont terminées. La matrice est réduite à une forme progressive (voir Fig. 1.4).

Remarque 1.9. En continuant à effectuer des transformations élémentaires sur les lignes de la matrice, nous pouvons simplifier la forme par étapes, à savoir ramener la matrice à une forme simplifiée (Fig. 1.5).

Ici, le symbole 1 désigne les éléments de la matrice égaux à l'unité, le symbole * désigne les éléments à valeurs arbitraires, les éléments restants de la matrice sont nuls. Notez que dans chaque colonne avec l'unité, les éléments restants sont égaux à zéro.

Exemple 1.31. Simplifier la matrice

Solution La matrice a une vue en escalier. Ajoutez à la première ligne la troisième, multipliée par (-1), et à la deuxième ligne, la troisième, multipliée par (-2):

Maintenant, ajoutez la deuxième ligne multipliée par (-1) à la première ligne. Nous obtenons une matrice simplifiée (voir Fig. 1.5):

Remarque 1.10. En utilisant des transformations élémentaires (lignes et colonnes), toute matrice peut être réduite à sa forme la plus simple (Fig. 1.6).

Le coin supérieur gauche de la matrice est une matrice unitaire d'ordre [math] r

(0 leqslant r leqslant min ) [/ math], et les éléments restants sont nuls. On pense que la matrice zéro a déjà la forme la plus simple (avec [math] r = 0 [/ math]).

Exemple 1.32. Apportez la matrice [math] A = begin1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 end[/ math] à la forme la plus simple.

Solution En tant qu'élément principal, nous prenons [math] a_ <11> = 1 [/ math]. A la deuxième ligne, nous ajoutons la première, multipliée par (-2):

A la deuxième colonne, nous ajoutons la première, multipliée par (-2), et à la troisième colonne, la première, multipliée par (-3):

Multipliez tous les éléments de la dernière colonne par (-1) et réorganisez-le à la place de la seconde:

Ainsi, la matrice originale [math] A [/ math] utilisant des transformations élémentaires est réduite à la forme la plus simple (voir Fig. 1.6).

Propriétés des transformations de la matrice élémentaire

Nous soulignons les propriétés suivantes des transformations de matrice élémentaires.

Théorème 1.1 sur la réduction d'une matrice en une forme progressive. En utilisant toutes les transformations élémentaires de ses lignes, toute matrice peut être réduite à une forme pas à pas (voire simplifiée).

Corollaire (sur la réduction de la matrice à sa forme la plus simple). En utilisant les transformations élémentaires de ses lignes et de ses colonnes, toute matrice peut être réduite à sa forme la plus simple.

1. Les conversions inverses à élémentaires sont élémentaires. En fait, si deux colonnes ont été permutées dans une matrice (transformation de type I), la matrice d'origine peut être obtenue en permutant à nouveau ces colonnes. Si la colonne de la matrice a été multipliée par le nombre [math] lambda ne0 [/ math] (transformation de type II), pour obtenir la matrice d'origine, cette colonne doit être multipliée par le nombre inverse [math] tfrac <1> < lambda> ne0 [ / math]. Si la jième colonne multipliée par le nombre [math] lambda [/ math] a été ajoutée à la iième colonne de la matrice, il suffit alors d’ajouter la jième colonne multipliée par le nombre opposé à la iième colonne de la matrice ([ maths] - lambda [/ math]).

2. Le théorème 1.1 parle de réduire une matrice à une forme pas à pas (simplifiée) en utilisant des transformations élémentaires de ses lignes uniquement, sans utiliser de transformations de ses colonnes. Pour réduire une matrice arbitraire à sa forme la plus simple (corollaire du théorème 1.1), il est nécessaire d'utiliser des transformations à la fois des lignes et des colonnes de la matrice.

3. Envisagez la modification suivante du paragraphe 3 de la méthode de Gauss. L'élément principal sélectionné au paragraphe 1 de la méthode de Gauss détermine la ligne principale et la colonne principale de la matrice (c'est à leur intersection). Divisez tous les éléments de la ligne principale par l’élément principal (voir l’article 2 de la méthode de Gauss). En additionnant la ligne de tête multipliée par les nombres correspondants aux lignes restantes de la matrice (comme dans la section 3 de la méthode de Gauss), nous rendons tous les éléments de la colonne de tête, à l'exception de l'élément de tête, égaux à zéro. Ensuite, en additionnant la colonne principale résultante, multipliée par les nombres correspondants, aux colonnes restantes de la matrice, tous les éléments de la ligne principale sont mis à zéro, à l'exception de l'élément principal. Dans ce cas, nous obtenons la ligne et la colonne de tête, dont tous les éléments sont égaux à zéro, à l'exception de l'élément de tête, égal à un.

La méthode de Gauss modifiée de cette manière s'appelle la méthode de Gauss-Jordan. Son application vous permet d’obtenir immédiatement la forme la plus simple de la matrice, en contournant sa forme par étapes.

Entrez la matrice A

Utilisez uniquement des matrices carrées!
Sur cette page, entrez la matrice pour qu'elle soit triangulaire. Donc, vous faites la transformation de la matrice en une forme triangulaire Un
La matrice triangulaire supérieure et la matrice triangulaire inférieure seront calculées

Si vous êtes intéressé par l’utilisation de la réduction de la forme triangulaire de la matrice, consultez la calculatrice de résolution de systèmes d’équations par la méthode de Gauss ici.

© Examen RU - calculatrices en ligne

Description du calculateur en ligne

  • La taille minimale de la matrice est 2x2,
  • La taille maximale de la matrice est 10x10,
  • Dans les champs de saisie pour les valeurs des éléments de la matrice, les types de nombres suivants peuvent être entrés:
    • Naturel (0, 3, 9),
    • Négatif (-43),
    • Décimal (1,5 ou 1,5),
    • Fractionnaire (2/3).
  • Nombre maximum de caractères entrés 7,
  • À la simple pression d'un bouton Résultat d'impression»Le résultat de l'opération requise est affiché.

Vous pouvez toujours poser vos questions sur le fonctionnement de cette calculatrice en ligne dans les commentaires.

Type canonique

La forme canonique de la matrice est considérée comme l’une des principales: il est souvent nécessaire de la mouler pour le travail. Le nombre de lignes et de colonnes dans la matrice canonique est différent, elle n'appartient pas nécessairement au type carré. Elle ressemble quelque peu à la matrice d'identité, toutefois, dans son cas, toutes les composantes de la diagonale principale ne prennent pas une valeur égale à l'unité. Les principales unités diagonales peuvent être deux, quatre (tout dépend de la longueur et de la largeur de la matrice). Ou des unités peuvent ne pas exister du tout (alors il est considéré comme zéro). Les composants restants du type canonique, ainsi que les éléments de ceux de diagonale et d'unité, sont égaux à zéro.

Type triangulaire

L'un des types de matrice les plus importants utilisés dans la recherche de son déterminant et dans l'exécution d'opérations simples. Le type triangulaire vient de la diagonale, donc la matrice est également carrée. La forme triangulaire de la matrice est divisée en triangulaire supérieur et triangulaire inférieur.

Dans la matrice triangulaire supérieure, seuls les éléments situés au-dessus de la diagonale prennent la valeur zéro. Les composants de la diagonale elle-même et la partie de la matrice située en dessous contiennent des valeurs numériques.

Dans le triangle inférieur, au contraire, les éléments situés dans la partie inférieure de la matrice sont égaux à zéro.

Matrice étagée

La vue est nécessaire pour trouver le rang de la matrice, ainsi que pour les actions élémentaires sur celle-ci (avec le type triangulaire). La matrice des étapes est nommée ainsi car elle contient la caractéristique "étapes" des zéros (comme indiqué sur la figure). Dans le type à gradins, une diagonale de zéros est formée (pas nécessairement la principale), et tous les éléments situés sous cette diagonale ont également une valeur égale à zéro. Une condition préalable est la suivante: si une ligne nulle est présente dans la matrice d'étape, les lignes restantes en dessous ne contiennent pas non plus de valeurs numériques.

Ainsi, nous avons examiné les types de matrices les plus importants nécessaires pour les utiliser. Nous allons maintenant traiter de la conversion de la matrice dans la forme requise.

Triangularisation

Comment amener la matrice à une forme triangulaire? Le plus souvent, dans les tâches, vous devez transformer la matrice en une forme triangulaire afin de trouver son déterminant, autrement appelé déterminant. Lors de l’exécution de cette procédure, il est extrêmement important de «sauvegarder» la diagonale principale de la matrice, car le déterminant de la matrice triangulaire est exactement le produit des composants de sa diagonale principale. Je me souviens également de méthodes alternatives pour trouver le déterminant. Le déterminant de type carré est trouvé à l'aide de formules spéciales. Par exemple, vous pouvez utiliser la méthode triangle. Pour les autres matrices, la méthode de décomposition est utilisée pour les lignes, les colonnes ou leurs éléments. Vous pouvez également appliquer la méthode des mineurs et des compléments algébriques de la matrice.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Pour l'amener à une forme triangulaire, nous commençons la transformation à partir du nombre 6 à partir du coin inférieur gauche de la matrice. Pour la réduire à zéro, nous multiplions la première ligne par trois et nous la soustrayons à la dernière ligne.

Important! La ligne du haut ne change pas, mais reste la même que dans la matrice d'origine. Il n'est pas nécessaire d'enregistrer une ligne quatre fois l'original. Mais les valeurs des chaînes dont les composants doivent être mis à zéro changent constamment.

Ensuite, nous allons traiter de la valeur suivante - l’élément de la deuxième ligne de la première colonne, numéro 8. Multipliez la première ligne par quatre et soustrayez-la de la deuxième ligne. Obtenez zéro.

Il ne reste que la dernière valeur - l'élément de la troisième ligne de la deuxième colonne. C'est le nombre (-1). Pour l'annuler, soustrayez le deuxième de la première ligne.

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Donc, la réponse à la tâche: -22.

Il est nécessaire de trouver le déterminant de la matrice en la réduisant à une forme triangulaire.

La matrice présentée appartient au type carré et est une matrice de quatrième ordre. Par conséquent, il est nécessaire de supprimer trois composants de la première colonne, deux composants de la deuxième colonne et un composant de la troisième.

Nous commençons par le lancer à partir de l'élément situé dans le coin inférieur gauche, à partir du numéro 4. Nous devons ramener ce nombre à zéro. Pour ce faire, il est très pratique de multiplier par quatre la ligne supérieure, puis de la soustraire de la quatrième. Nous écrivons le résultat de la première étape de la transformation.

Ainsi, le composant de la quatrième ligne est zéro. Nous passons au premier élément de la troisième ligne, au nombre 3. Nous effectuons une opération similaire. On multiplie la première ligne par trois, on la soustrait de la troisième ligne et on écrit le résultat.

Ensuite, voir le numéro 2 à la deuxième ligne. Répétez l'opération: multipliez la ligne du haut par deux et soustrayez-la de la seconde.

Nous avons réussi à annuler toutes les composantes de la première colonne de cette matrice carrée, à l'exception du nombre 1 - l'élément de la diagonale principale ne nécessitant pas de transformation. Maintenant, il est important de conserver les zéros qui en résultent. Nous allons donc effectuer la conversion avec des lignes et non avec des colonnes. Nous passons à la deuxième colonne de la matrice présentée.

Encore une fois, commencez par le bas - à partir de la deuxième colonne de la dernière ligne. C'est le numéro (-7). Cependant, dans ce cas, il est plus pratique de commencer par le nombre (-1) - un élément de la deuxième colonne de la troisième ligne. Pour l'annuler, soustrayez le deuxième de la troisième ligne. Ensuite, on multiplie la deuxième ligne par sept et on la soustrait de la quatrième. Nous avons zéro au lieu de l'élément situé dans la quatrième ligne de la deuxième colonne. Passons maintenant à la troisième colonne.

Dans cette colonne, nous n'avons besoin que d'un seul nombre - 4. Il n'est pas difficile de faire cela: nous ajoutons simplement le troisième à la dernière ligne et voyons le zéro dont nous avons besoin.

Après toutes les transformations effectuées, nous avons réduit la matrice proposée à une forme triangulaire. Maintenant, pour trouver son déterminant, il suffit de multiplier les éléments résultants de la diagonale principale. Nous obtenons: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Par conséquent, la solution est le nombre 160.

Alors maintenant, la question de réduire la matrice à une forme triangulaire ne vous compliquera pas.

Cast à l'étape

Dans les opérations élémentaires sur les matrices, une vue en escalier est moins "demandée" qu'une vue triangulaire. Le plus souvent, il est utilisé pour trouver le rang d’une matrice (c’est-à-dire le nombre de ses rangées non nulles) ou pour déterminer des rangées linéairement dépendantes et indépendantes. Cependant, la forme en gradins de la matrice est plus universelle, car elle convient non seulement au type carré, mais également à tout le monde.

Pour que la matrice prenne une forme progressive, vous devez d’abord en trouver le déterminant. Pour ce faire, les méthodes ci-dessus sont appropriées. Le but de la recherche du déterminant est le suivant: déterminer s'il peut être transformé en une forme progressive de la matrice. Si le déterminant est supérieur ou inférieur à zéro, vous pouvez alors procéder en toute sécurité à la tâche. Si elle est égale à zéro, la matrice ne peut pas être réduite à une forme par étapes. Dans ce cas, vous devez vérifier s'il y a des erreurs dans l'enregistrement ou dans les transformations de la matrice. S'il n'y a pas de telles inexactitudes, la tâche ne peut pas être résolue.

Voyons comment amener la matrice à une forme pas à pas en prenant plusieurs exemples à titre d'exemple.

Tâche 1 Trouvez le rang d'un tableau matriciel donné.

Devant nous se trouve une matrice carrée de troisième ordre (3x3). Nous savons que pour trouver un rang, il est nécessaire de le porter progressivement. Par conséquent, nous devons d’abord trouver le déterminant de la matrice. Nous utilisons la méthode du triangle: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12

Le déterminant = 12. Il est supérieur à zéro, ce qui signifie que la matrice peut être réduite à une forme progressive. Passons à ses transformations.

Commençons par l'élément de la colonne de gauche de la troisième ligne - le nombre 2. Multipliez la ligne du haut par deux et soustrayez-la de la troisième. Grâce à cette opération, l’élément dont nous avons besoin et le nombre 4, l’élément de la deuxième colonne de la troisième rangée, ont disparu.

Ensuite, nous mettons à zéro l'élément de la deuxième ligne de la première colonne - le nombre 3. Pour ce faire, multipliez la ligne du haut par trois et soustrayez-la de la seconde.

Nous voyons que suite à la réduction, une matrice triangulaire s'est formée. Dans notre cas, la conversion ne peut pas être poursuivie, car les composants restants ne peuvent pas être mis à zéro.

Nous concluons donc que le nombre de lignes contenant des valeurs numériques dans cette matrice (ou son rang) est 3. La réponse à la tâche: 3.

Tâche 2 Déterminez le nombre de lignes linéairement indépendantes d'une matrice donnée.

Nous devons trouver des chaînes qui ne peuvent être annulées par aucune transformation. En fait, nous devons trouver le nombre de lignes non nulles ou le rang de la matrice présentée. Pour ce faire, nous le simplifions.

Nous voyons une matrice qui n'appartient pas à un type carré. Il mesure 3x4. Nous commençons également le casting avec l’élément du coin inférieur gauche - le nombre (-1).

Ajoutez la première rangée à la troisième. Ensuite, soustrayez la seconde pour ramener le nombre 5 à zéro.

Ses transformations ultérieures sont impossibles. Nous concluons donc que le nombre de lignes linéairement indépendantes et la réponse à la tâche sont 3.

Maintenant, la réduction de la matrice en une forme étagée n'est pas une tâche impossible pour vous.

À l'aide d'exemples de ces tâches, nous avons examiné la réduction de la matrice en une forme triangulaire et une forme par étapes. Pour annuler les valeurs nécessaires des tableaux matriciels, il est parfois nécessaire de faire preuve d'imagination et de convertir correctement leurs colonnes ou leurs lignes. Je vous souhaite du succès en mathématiques et en travaillant avec des matrices!

Réduire la matrice en une forme triangulaire (méthode Bareis)

Donc, pour commencer, définissons le concept de matrice triangulaire ou à étapes:
La matrice a une forme échelonnée si:

  1. Toutes les lignes zéro de la matrice sont les dernières
  2. Le premier élément non nul de la ligne est toujours exactement à la droite du premier élément non nul de la ligne précédente
  3. Tous les éléments de la colonne sous le premier élément non nul de la ligne sont égaux à zéro (ceci découle toutefois des deux premiers points)

Le concept de matrice triangulaire est plus étroit, il n’est utilisé que pour les matrices carrées (même si je pense qu’il n’est pas strict), et il est formulé plus simplement: une matrice triangulaire est une matrice carrée dans laquelle tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro. À proprement parler, il s'agit même d'une définition d'une matrice triangulaire supérieure, mais nous l'utilisons. Il est clair qu'une telle matrice triangulaire supérieure est également progressive.

Pourquoi les matrices par étapes (et triangulaires) sont-elles si intéressantes que toutes les autres doivent y être réduites? - vous demandez.
Ils ont une propriété merveilleuse, à savoir que toute matrice rectangulaire peut être réduite en utilisant des transformations élémentaires.

Que sont les transformations élémentaires? - vous demandez.
Les opérations suivantes sont appelées transformations de matrice élémentaires:

  1. permutation de deux lignes quelconques (colonnes) de la matrice
  2. multiplication de n'importe quelle ligne (colonne) par un nombre aléatoire différent de zéro
  3. l'ajout de toute ligne (colonne) avec une autre ligne (colonne) multipliée (multipliée) par un nombre arbitraire non nul.

Alors quoi? - vous demandez.
Et le fait que les transformations de matrice élémentaires préservent l’équivalence matricielle. Et si vous vous rappelez que les systèmes d’équations algébriques linéaires (SLAE) s’écrivent uniquement sous forme matricielle, cela signifie que les transformations élémentaires de la matrice ne modifient pas l’ensemble des solutions du système d’équations algébriques linéaires que cette matrice représente.

Après avoir réduit la matrice du système d’équations linéaires AX = B à la forme triangulaire A’X = B ’, c’est-à-dire avec les transformations correspondantes de la colonne B, nous pouvons trouver une solution à ce système avec le« trait inversé ».

Pour bien comprendre, nous utilisons la matrice triangulaire ci-dessus et réécrivons le système d'équations sous une forme plus familière (j'ai moi-même inventé la colonne B):

Il est clair que nous trouvons d’abord la substitution dans l’équation précédente, nous trouvons et ainsi de suite, passant de la dernière équation à la première. C'est le coup inverse.

L'algorithme de réduction de la matrice en une étape utilisant des transformations élémentaires est appelé méthode de Gauss. La méthode de Gauss est une méthode classique de résolution de systèmes d’équations algébriques linéaires. On l'appelle aussi l'exception gaussienne, puisqu'il s'agit d'une méthode d'exclusion séquentielle de variables lorsque, à l'aide de transformations élémentaires, le système d'équations est réduit à un système équivalent de forme à étapes (ou triangulaire), à ​​partir duquel toutes les autres variables sont séquentiellement à partir des dernières (en nombre). .

Parlons maintenant de la méthode elle-même.
En fait, comment une variable peut-elle être mise à zéro dans la deuxième équation? En soustrayant le premier multiplié par le coefficient
Illustrons par un exemple:

Zéro dans la deuxième équation:

La deuxième équation ne contient plus

En général, l’algorithme de la méthode de Gauss peut être représenté comme suit:

où N est le nombre de lignes
- i-ème ligne,
- un élément situé dans la i-ème rangée, j-ème colonne

Et tout irait bien, et la méthode est excellente, mais. Il s’agit de diviser par, présent dans la formule. Premièrement, si l'élément diagonal est égal à zéro, la méthode ne fonctionnera pas. Deuxièmement, dans le processus de calcul, une erreur s’accumulera et plus elle augmentera. Le résultat sera différent de l'exact.

Pour réduire l'erreur, des modifications de la méthode de Gauss sont utilisées. Elles sont basées sur le fait que l'erreur est moindre, plus le dénominateur de la fraction est grand. Ces modifications sont la méthode gaussienne avec le choix du maximum dans la colonne et la méthode de Gauss avec le choix du maximum dans la matrice entière. Comme son nom l'indique, avant chaque étape d'exclusion d'une variable, une colonne (la matrice entière) est recherchée pour l'élément avec la valeur maximale et les lignes (lignes et colonnes) sont réorganisées de manière à être en place.

Mais il existe une modification encore plus radicale de la méthode de Gauss, appelée méthode de Bareiss.
Comment puis-je me débarrasser de la division? Par exemple, en multipliant la chaîne par. Ensuite, il faudra soustraire la ligne multipliée uniquement par, sans division.
.
Déjà bon, mais la croissance des valeurs des éléments de la matrice pose problème pendant le calcul.

Bareis a proposé de diviser l'expression ci-dessus par et a montré que si les éléments initiaux de la matrice sont des entiers, le résultat du calcul d'une telle expression sera également un entier. On suppose que pour la ligne zéro.

Par ailleurs, le fait que, dans le cas d'éléments entiers de la matrice d'origine, l'algorithme Bareis aboutisse à une matrice triangulaire d'éléments entiers, c'est-à-dire sans accumulation d'erreurs de calcul, est une propriété assez importante du point de vue de l'arithmétique machine.

L'algorithme Bareis peut être représenté comme suit:

L’algorithme, similaire à la méthode de Gauss, peut également être amélioré en recherchant le maximum dans la colonne (la matrice entière) et en réorganisant les lignes correspondantes (lignes et colonnes).

Une excellente conférence sur ce sujet peut être trouvée ici.

Regarde la vidéo: Introduction To Types Of Matrices Matrices Maths Algebra (Août 2020).

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