Conseils utiles

Lignes parallèles, signes et conditions des lignes parallèles

Pin
Send
Share
Send
Send


1. Si deux lignes sont parallèles à la troisième ligne, elles sont parallèles:

2. Si deux droites sont perpendiculaires à la troisième droite, elles sont parallèles:

Les autres signes de lignes parallèles sont basés sur les angles formés lorsque les deux lignes coupent la troisième.

3. Si la somme des angles internes unilatéraux est de 180 °, les lignes sont parallèles:

4. Si les angles respectifs sont égaux, les lignes sont parallèles:

5. Si les angles internes transversaux sont égaux, les lignes sont parallèles:

Propriétés des lignes parallèles

Les instructions inverses aux signes des lignes parallèles sont leurs propriétés. Ils sont basés sur les propriétés des angles formés par l'intersection de deux lignes parallèles de la troisième ligne.

1. A l'intersection de deux droites parallèles de la troisième droite, la somme des angles internes unilatéraux formés par elles est égale à 180 °:

2. A l'intersection de deux lignes parallèles de la troisième ligne, les angles correspondants formés par elles sont égaux à:

3. À l'intersection de deux lignes parallèles de la troisième ligne, les angles formés par elles en croix sont égaux à:

La propriété suivante est un cas particulier pour chaque précédente:

4. Si la ligne du plan est perpendiculaire à l'une des deux lignes parallèles, alors elle est perpendiculaire à l'autre:

La cinquième propriété est l'axiome des lignes parallèles:

5. Par un point ne se trouvant pas sur cette ligne, vous ne pouvez tracer qu’une ligne parallèle à cette ligne:

Lignes parallèles - informations de base.

Nous rappelons d’abord les définitions de lignes parallèles données dans les articles par une ligne droite sur un plan et une ligne droite dans l’espace.

Deux lignes de l'avion s'appellent parallèles'ils n'ont pas de points communs.

On appelle deux lignes dans l'espace tridimensionnel parallèles'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

Veuillez noter que la clause «si elles sont sur le même plan» dans la définition des lignes parallèles dans l'espace est très importante. Clarifions ce point: deux lignes dans un espace tridimensionnel qui n'ont pas de points communs et ne se situent pas dans le même plan ne sont pas parallèles, mais sont croisées.

Voici quelques exemples de lignes parallèles. Les bords opposés de la feuille de cahier sont situés sur des lignes parallèles. Les lignes droites le long desquelles le plan du mur de la maison coupe les plans du plafond et du sol sont parallèles. Les rails de chemin de fer sur un terrain plat peuvent également être considérés comme des lignes parallèles.

Pour indiquer des lignes parallèles, utilisez le symbole "". C'est-à-dire que si les lignes a et b sont parallèles, alors a b peut être écrit brièvement.

Remarque: si les lignes a et b sont parallèles, nous pouvons dire que la ligne a est parallèle à la ligne b et que la ligne b est parallèle à la ligne a.

Faisons une déclaration qui joue un rôle important dans l’étude des lignes parallèles sur le plan: par un point qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, une seule ligne est parallèle à celle-ci. Cette affirmation est acceptée comme un fait (elle ne peut pas être prouvée sur la base des axiomes connus de la planimétrie) et est appelée l’axiome des lignes parallèles.

Pour le cas dans l’espace, le théorème suivant est valable: tout point de l’espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée laisse passer une ligne unique parallèle à celle donnée. Ce théorème est facilement prouvé à l’aide de l’axiome de lignes parallèles ci-dessus (vous en trouverez la preuve dans la classe de manuel de géométrie 10-11, indiquée à la fin de l’article dans la liste de références).

Pour le cas dans l’espace, le théorème suivant est valable: tout point de l’espace qui ne se trouve pas sur une ligne donnée laisse passer une ligne unique parallèle à celle donnée. Ce théorème est facilement prouvé à l'aide de l'axiome ci-dessus des lignes parallèles.

Parallélisme des lignes - signes et conditions du parallélisme.

Un signe de lignes parallèles est une condition suffisante pour les lignes parallèles, c’est-à-dire une condition dont la réalisation garantit des lignes parallèles. En d'autres termes, le respect de cette condition suffit à indiquer le fait que les lignes sont parallèles.

Il existe également des conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des lignes sur le plan et dans l'espace tridimensionnel.

Expliquons le sens de l'expression "une condition nécessaire et suffisante pour des lignes parallèles".

Avec une condition suffisante pour les lignes parallèles, nous avons déjà compris. Mais quelle est la "condition nécessaire pour les lignes parallèles?" Par le terme «nécessaire», il est clair que le respect de cette condition est nécessaire pour les lignes parallèles. En d'autres termes, si la condition nécessaire pour le parallélisme des lignes n'est pas remplie, les lignes ne sont pas parallèles. De cette façon condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles Est une condition dont l'accomplissement est à la fois nécessaire et suffisant pour les lignes parallèles. C'est-à-dire que, d'une part, il s'agit d'un signe de lignes parallèles et, d'autre part, qu'il s'agit d'une propriété des lignes parallèles.

Avant de formuler la condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles, il convient de rappeler quelques définitions auxiliaires.

Ligne sécante Est une ligne qui croise chacune des deux lignes incompatibles données.

À l'intersection de deux sécantes droites, huit angles non développés sont formés. Dans la formulation de la condition nécessaire et suffisante pour les lignes parallèles, la soi-disant croix couchée, correspondante et coins unilatéraux. Montrez-les dans le dessin.

Si deux lignes droites du plan sont coupées par une sécante, il est nécessaire et suffisant, pour leur parallélisme, que les angles couchés soient égaux, ou que les angles correspondants soient égaux, ou que la somme des angles unilatéraux soit égale à 180 degrés.

Nous montrons une illustration graphique de cette condition nécessaire et suffisante pour des lignes parallèles sur le plan.

Vous pouvez trouver des preuves de ces conditions de lignes parallèles dans les manuels de géométrie pour les élèves de la 7e à la 9e année.

Notez que ces conditions peuvent également être utilisées dans un espace tridimensionnel. L'essentiel est que les deux lignes et la sécante se trouvent dans le même plan.

Nous donnons quelques autres théorèmes qui sont souvent utilisés pour prouver des lignes parallèles.

Si deux lignes du plan sont parallèles à la troisième ligne, elles sont parallèles. La preuve de cette caractéristique découle de l’axiome des lignes parallèles.

Il existe une condition similaire pour les lignes parallèles dans un espace tridimensionnel.

Si deux lignes de l'espace sont parallèles à la troisième ligne, elles le sont également. La preuve de cette caractéristique est prise en compte dans les cours de géométrie en 10e année.

Nous illustrons les théorèmes exprimés.

Nous donnons un autre théorème qui nous permet de prouver le parallélisme des lignes sur le plan.

Si deux lignes du plan sont perpendiculaires à la troisième ligne, elles sont parallèles.

Il existe un théorème similaire pour les lignes dans l'espace.

Si deux lignes dans un espace tridimensionnel sont perpendiculaires à un plan, elles sont parallèles.

Nous représentons les figures correspondant à ces théorèmes.

Tous les théorèmes formulés ci-dessus, les caractéristiques et les conditions nécessaires et suffisantes conviennent parfaitement à la démonstration du parallélisme des lignes par des méthodes géométriques. C'est-à-dire que, pour prouver le parallélisme de deux lignes données, il est nécessaire de montrer qu'elles sont parallèles à la troisième ligne, ou de montrer l'égalité des angles, etc. Beaucoup de problèmes similaires sont résolus dans les cours de géométrie au lycée. Toutefois, il convient de noter que, dans de nombreux cas, il est pratique d’utiliser la méthode des coordonnées pour prouver le parallélisme des lignes sur un plan ou dans un espace tridimensionnel. Nous formulons les conditions nécessaires et suffisantes pour le parallélisme des lignes spécifiées dans un système de coordonnées rectangulaires.

Parallélisme des lignes dans un système de coordonnées rectangulaire.

Si un système de coordonnées cartésien rectangulaire est spécifié sur le plan, la ligne droite dans ce système de coordonnées est déterminée par l'équation de la ligne sur un plan quelconque. De même, une ligne droite dans un système de coordonnées rectangulaire dans un espace tridimensionnel définit certaines équations d'une ligne droite dans l'espace.

Dans ce paragraphe de l'article, nous formulons conditions nécessaires et suffisantes pour les lignes parallèles dans un système de coordonnées rectangulaires, en fonction du type d'équations définissant ces lignes, et apportent également des solutions détaillées aux problèmes typiques.

Nous commençons par la condition de parallélisme de deux lignes sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires Oxy. La base de sa preuve est la définition du vecteur directeur de la ligne et la définition du vecteur normal de la ligne sur le plan.

Pour le parallélisme de deux lignes mal appariées sur le plan, il est nécessaire et suffisant que les vecteurs de direction de ces lignes soient colinéaires, ou que les vecteurs normaux de ces lignes soient colinéaires, ou que le vecteur de direction d’une ligne soit perpendiculaire au vecteur normal de la deuxième ligne.

Évidemment, la condition de parallélisme de deux lignes droites dans le plan se réduit à la condition de colinéarité de deux vecteurs (vecteurs directeurs de droites ou vecteurs droits normaux) ou à la condition de perpendicularité de deux vecteurs (vecteur directeur d'une droite et vecteur normal de la deuxième droite). Ainsi, si et sont les vecteurs de direction des lignes a et b, et et sont des vecteurs normaux des lignes a et b, alors, la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des lignes a et b est écrite sous la forme, ou, ou, où t est un nombre réel. A leur tour, les coordonnées des guides et (ou) les vecteurs normaux des lignes a et b sont trouvés à partir des équations connues des lignes.

En particulier, si la droite a dans le système de coordonnées rectangulaire Oxy sur le plan définit l'équation générale de la droite et la droite b -, les vecteurs normaux de ces droites ont des coordonnées et, respectivement, et la condition de parallélisme pour les droites a et b peut être écrite ainsi.

Si la droite a correspond à l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire de la forme et de la droite b -, les vecteurs normaux de ces droites ont les coordonnées et, et la condition de parallèle pour ces droites prend la forme. Par conséquent, si les lignes d'un plan dans un système de coordonnées rectangulaires sont parallèles et peuvent être définies par des équations de lignes à coefficients angulaires, les coefficients angulaires des lignes seront égaux. Et inversement: si les lignes qui ne correspondent pas sur le plan dans un système de coordonnées rectangulaires peuvent être définies par les équations d'une ligne avec des coefficients angulaires égaux, ces lignes sont parallèles.

Si la ligne a et la ligne b dans un système de coordonnées rectangulaires déterminent les équations canoniques de la ligne dans le plan de la vue et, ou les équations paramétriques de la ligne dans le plan de la vue et, respectivement, les vecteurs de direction de ces lignes ont les coordonnées et, et la condition de parallélisme des lignes a et b est écrite comme suit.

Laissez-nous examiner les solutions de plusieurs exemples.

Les lignes et parallèles?

Nous réécrivons l'équation de la ligne en segments sous la forme d'une équation générale de la ligne:. Nous voyons maintenant que c’est le vecteur normal de la ligne et le vecteur normal de la ligne. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, car il n'y a pas de nombre réel t pour lequel égalité () est vraie. Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des lignes sur le plan n'est pas remplie; les lignes données ne sont donc pas parallèles.

non, les lignes ne sont pas parallèles.

Sont-ils droits et parallèles?

Nous apportons l'équation canonique de la ligne à l'équation de la ligne avec un coefficient angulaire:. Évidemment, les équations des lignes ne sont pas les mêmes (dans ce cas, les lignes données seraient les mêmes) et les coefficients angulaires des lignes sont égaux, donc les lignes originales sont parallèles.

La deuxième façon de résoudre.

Tout d'abord, nous montrons que les lignes d'origine ne coïncident pas: si vous prenez un point quelconque sur la ligne, par exemple (0, 1), les coordonnées de ce point ne vérifient pas l'équation de la ligne, par conséquent, les lignes ne coïncident pas. Nous vérifions maintenant que la condition parallèle pour ces lignes est satisfaite. Le vecteur normal d'une ligne droite est un vecteur et le vecteur dirigeant d'une ligne droite est un vecteur. Nous calculons le produit scalaire des vecteurs et:. Par conséquent, les vecteurs et sont perpendiculaires, ce qui signifie que la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites données est remplie. Ainsi, les lignes sont parallèles.

les lignes données sont parallèles.

Pour prouver le parallélisme des lignes dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel, on utilise la condition nécessaire et suffisante suivante.

Pour le parallélisme des lignes asymétriques dans un espace tridimensionnel, il est nécessaire et suffisant que leurs vecteurs guides soient colinéaires.

Ainsi, si les équations de lignes dans un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel sont connues et que vous devez déterminer si ces lignes sont parallèles ou non, vous devez rechercher les coordonnées des vecteurs de direction de ces lignes et vérifier que la condition de colinéarité des vecteurs de direction est remplie. En d'autres termes, si et sont les vecteurs de direction des lignes a et b, respectivement, alors pour le parallélisme des lignes a et b, il est nécessaire et suffisant qu'il existe un nombre réel t pour lequel il est vrai.

Nous allons traiter de la condition des lignes parallèles dans l'espace lors de la résolution de l'exemple.

Prouver le parallélisme des lignes et.

On nous donne les équations canoniques de la ligne dans l'espace de vision et les équations paramétriques de la ligne dans l'espace de vue. Les vecteurs de direction et les lignes données ont des coordonnées et. Depuis lors. Ainsi, une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme de deux lignes dans l'espace est remplie. Cela prouve le parallélisme des lignes et.

Pin
Send
Share
Send
Send