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Élever une fraction algébrique à un pouvoir: règle, exemples

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La quadrature des fractions est l’une des opérations les plus simples avec des fractions. Cela ressemble à un entier carré: vous devez multiplier vous-même le numérateur et le dénominateur. Dans certains cas, une fraction peut être simplifiée puis mise au carré pour simplifier le processus. Cet article va vous apprendre à quadriller les fractions.

La règle d'élever une fraction algébrique à une puissance, sa preuve

Avant de commencer à obtenir un diplôme, vous devez approfondir vos connaissances à l'aide d'un article sur un diplôme avec indicateur naturel, qui produit les mêmes facteurs qui sont à la base du diplôme et dont le nombre est déterminé par l'indicateur. Par exemple, le nombre 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Quand on élève une puissance, on utilise le plus souvent la règle. Pour cela, le numérateur et le dénominateur sont élevés séparément à la puissance. Prenons l'exemple 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9. La règle est applicable pour la levée de fractions en nature.

À élever une fraction algébrique à une puissance naturelle nous en obtenons un nouveau, où le numérateur a le degré de la fraction initiale et le dénominateur est le degré du dénominateur. Tout cela a la forme a b n = a n b n, où a et b sont des polynômes arbitraires, b est non nul et n est un nombre naturel.

La preuve de cette règle est écrite sous la forme d'une fraction, qui doit être élevée à une puissance basée sur la définition elle-même avec un indicateur naturel. On obtient alors la multiplication de fractions de la forme a b n = a b · a b ·. . . A b = a . . Un b b. . . B = a n b n

Exemples, solutions

La règle qui consiste à élever une fraction algébrique à une puissance est définie séquentiellement: d'abord le numérateur, puis le dénominateur. Quand il y a un polynôme dans le numérateur et le dénominateur, alors la tâche elle-même sera réduite à élever un polynôme donné à une puissance. Ensuite, une nouvelle fraction sera indiquée, qui est égale à celle d'origine.

Place la fraction x 2 3 · y · z 3.

Il est nécessaire de fixer le degré x 2 3 · y · z 3 2. Par la règle qui consiste à élever une fraction algébrique à une puissance, on obtient une égalité de la forme x 2 3 · y 3 z = 2 2 x y 3 z Maintenant, il est nécessaire de convertir la fraction obtenue en une forme algébrique, en effectuant une augmentation de puissance. Ensuite, nous obtenons une expression de la forme

x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Tous les cas d'exponentiation ne nécessitent pas d'explication détaillée. Par conséquent, la décision elle-même a un bref enregistrement. C'est-à-dire que nous obtenons cela

x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

La réponse est: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6.

Si le numérateur et le dénominateur ont des polynômes, il est nécessaire d'élever la fraction entière à une puissance, puis d'appliquer les formules de multiplication réduite pour la simplifier.

Place la fraction 2 x x 1 x 2 + 3 x x yy dans le carré.

De la règle nous avons que

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Pour transformer l'expression, il est nécessaire d'utiliser la formule du carré de la somme des trois termes dans le dénominateur et dans le numérateur - le carré de la différence, ce qui simplifiera l'expression. Nous obtenons:

2 x x 1 2 x 2 + 3 x x y 2 = = 2 x 2-2 x 2 1 x 1 + 2 x 2 2 + 3 x x y 2 + - y 2 + 2 X 2 · 3 · x · y + 2 x x ((y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 x 2 - 4 x x 1 x 4 + 9 x x y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

La réponse est: 2 x x 1 2 x 2 + 3 x x y 2 = 4 x 2 x 4 x 4 x 9 x 2 x y 2 + y 2 + 6 x 3 x y 2 X 2 y - 6 x y 2

Notez que lorsque nous élevons à un degré naturel une fraction que nous ne pouvons pas réduire, nous obtenons également une fraction irréductible. Cela ne le simplifie pas pour une solution ultérieure. Lorsqu'une fraction donnée peut être réduite, alors, en augmentant à une puissance, on comprend qu'il est nécessaire de réduire la fraction algébrique, afin d'éviter de réaliser la réduction après une augmentation en puissance.

S'élever au pouvoir d'un nombre mixte:

La fraction finale ressemblera à ceci 19/5.
Après avoir transféré le nombre mixte dans la mauvaise fraction, nous plaçons à la fois le numérateur et le dénominateur dans la mesure dont nous avons besoin, selon la même bande-annonce que nous avons résolue avec une fraction ordinaire.
Nous élevons 19/5, à la troisième puissance, en calculant nous obtenons: 361/25, calcule la partie entière de la fraction et obtenons la réponse: 14 11/25.